Szczegółowy przewodnik po greckich zmiennych dotyczących handlu opcjami

Grecy

Grecy - delta, gamma, theta, vega i rho - to pięć zmiennych, które pomagają zidentyfikować ryzyko związane z pozycją opcyjną.

Ryzyko, z jakim borykają się inwestorzy, nie jest jednowymiarowe. Aby poradzić sobie ze zmieniającymi się warunkami rynkowymi, inwestor powinien zdawać sobie sprawę z rozmiarów tych zmian. Aby sprawdzić, czy zmiany są duże czy małe, czy powodują duże czy niewielkie ryzyko, teoria opcji i modele wyceny opcji dostarczają inwestorom zmiennych identyfikujących charakterystykę ryzyka ich pozycji opcyjnych. Te zmienne są określane jako Grecy. Monitorujemy pięciu Greków: delta, gamma, theta, vega i rho.

Ponieważ Grecy są pochodnymi formuły Blacka i Scholesa, zaczniemy od wyjaśnienia tego nieco więcej.

Black & Scholes

Formuła Blacka i Scholesa, czasami nazywana formułą Blacka, Scholesa i Mertona, jest standardowym narzędziem rynkowym dla opcji cenowych. Ta formuła wycenia opcję jako funkcję aktualnej ceny akcji S ₀, czasu zapadalności opcji T, jej wykonania X, zmienności σ i stopy procentowej r:

call = S ⁰ N (d ₁) - Xe ^-rT N (d ₂)

put = Xe ^-rT N (-d ₂) - S ₀ N (-d ₁) z

gdzie N (x) jest funkcją skumulowanego rozkładu normalnego dla standardowego rozkładu normalnego, tj. prawdopodobieństwo, że zmienna losowa ~ N (0,1) (ze standardowym rozkładem normalnym) jest mniejsze niż x.

Zanim przejdziemy do formuły, przedstawmy podstawowe założenia. Formuła Blacka i Scholesa zakłada:

Zwroty są IID (niezależne i identycznie rozłożone) z rozkładem normalnym.
Zmienność w przyszłości jest znana i stała.
Przyszła stopa procentowa jest znana, stała i taka sama dla zaciągania i udzielania pożyczek.
Kurs akcji jest ciągły, a notowania ciągłe są możliwe.
Koszty transakcji są zerowe.

Aby rozwinąć teorię, zakładamy, że wszystkie te założenia są aktualne. Formuła ta jest rynkowym standardem, ponieważ jest niezwykle odporna na naruszenie jej założeń.

Delta

Pierwszym greckim, który zostanie omówiony, jest delta. Zasadniczo delta to wrażliwość teoretycznej wartości opcji na zmianę ceny kontraktu bazowego. Mówiąc prościej, delta to zmiana wartości opcji, gdy wartość instrumentu bazowego wzrośnie o 1 dolara. Na przykład:

Δ _wywołanie = ∂c / ∂S = N (d ₁) i Δ _put = ∂p / ∂S = N (d ₁) - 1,

gdzie N (d ₁) jak we wzorze BS.

Wartość opcji kupna rośnie wraz ze wzrostem ceny akcji, więc delta opcji kupna jest dodatnia. I odwrotnie, wartość opcji sprzedaży spada, gdy cena akcji rośnie, więc delta opcji sprzedaży jest ujemna.

Można zauważyć, że N (x) jest funkcją gęstości prawdopodobieństwa, więc przyjmuje wartość w. Delta jednego połączenia jest wtedy zawsze włączona, a delta jednego połączenia. Ponieważ poziom bazowy to zwykle 100 akcji, delta opcji mnoży się przez 100. Na przykład opcja o delcie 0,25 jest traktowana jako delta 25. Im wyższa delta, tym bardziej zbliżona będzie zmiana wartości opcji. być na akcje bazowe. Wartość opcji z delta 100 będzie się zmieniać dokładnie w takim samym tempie jak wartość akcji bazowej. Zauważ również, że operacja pochodna jest liniowa, więc możemy obliczyć deltę każdej opcji i zsumować je, aby otrzymać deltę całego portfela (wtedy oczywiście może być poza).

Kiedy opcja zbliża się do wygaśnięcia, jej delta ulegnie zmianie, ponieważ prawdopodobieństwo wygaśnięcia w pieniądzu lub poza nim zmienia się, a rozkład normalny zawęża się i koncentruje wokół średniej. Gdy opcja zbliża się do wygaśnięcia, opcje w pieniądzu zmienią się w kierunku delta 100, a opcje poza pieniędzmi w kierunku delta 0. Z drugiej strony opcje at-the-money pozostaną na poziomie delty 50.

Wraz ze zmianą ceny akcji bazowych zmienia się również delta. Należy się tego spodziewać, ponieważ d ₁ jest funkcją ceny akcji.

Delta wezwania

Praktyczną interpretacją delty jest wskaźnik zabezpieczenia: kwota akcji, które należy kupić lub sprzedać, aby zneutralizować ryzyko kierunkowe opcji. Ze wzoru BS widzimy inną interpretację. Z grubsza można powiedzieć, że delta opcji to prawdopodobieństwo wygaśnięcia opcji w pieniądzu. (Dla opcji put weźmiemy wartość bezwzględną). To przybliżenie działa jednak tylko w przypadku opcji europejskich.

Podsumowując, istnieją trzy interpretacje delty:

Zmiana wartości opcji, jeżeli instrument bazowy wzrośnie o 1 dolara.
Wskaźnik zabezpieczenia: liczba akcji, które mają zostać kupione lub sprzedane w celu zneutralizowania ryzyka kierunkowego pozycji.
Szansa, że opcja będzie w cenie po wygaśnięciu

→ Połączenia OTM: delta ma tendencję do 0, gdy zbliżamy się do wygaśnięcia.

→ Połączenia ITM: w miarę upływu czasu delta ma tendencję do 100.

Różnica ceny sprzedaży w stosunku do ceny bazowej

Delta a zmienność

Wraz ze wzrostem (spadkiem) zmienności, delta wezwania zmierza w kierunku (od) 0,50, a delta opcji sprzedaży w kierunku (od) do -0,50. Zatem jeśli zmienność rośnie (maleje), delta opcji pieniężnej maleje (rośnie). W przypadku opcji out of money jest dokładnie odwrotnie.

Delta a czas

W miarę upływu czasu delta wywołania oddala się od 0,50, a delta odstawiania od -0,50. W miarę upływu czasu, delta wezwania pieniężnego przesuwa się w kierunku 1, a delta wyjścia pieniędzy w kierunku 0.

Gamma

Gamma jest pochodną delta jako funkcji ceny akcji. Ponieważ delta jest pochodną wartości opcji jako funkcji akcji bazowej, gamma to zmiana delta, gdy cena akcji wzrośnie o 1 dolara. Jest napisane w następujący sposób:

Γ = δ ₂ c / δS ² = N '(d ₁) / S ₀ σ √T

gdzie d ₁ jak we wzorze BS i N 'jest pierwszą pochodną skumulowanej funkcji gęstości Gaussa, czyli zwykłą gęstość Gaussa:

Gamma a cena akcji, gamma a czas

Często mówi się, że gamma osiąga swoją maksymalną wartość, gdy opcją jest ATM. Jest to poprawne jako pierwsze przybliżenie, jednak rzeczywiste maksimum jest osiągane, gdy cena akcji znajduje się tuż poniżej kursu wykonania. Efekt ten jest pokazany w lewej części powyższego rysunku dla akcji o wartości 100 dolarów. Ze względu na uderzenie X zmienność Ď, przepływność R, i czas ważności T, który zapewnia maksymalną wartość zapasów gamma S _{max Γ} = Xe ^{- (R + 3σ ^ 2/2) T}.

Krzywa gamma call i put są identyczne. Jest to zgodne z tym, co do tej pory powiedzieliśmy o połączeniach i stawkach ogólnie, a także w szczególności o gammie.

Wraz ze spadkiem czasu wygaśnięcia, gamma i theta opcji at-the-money rosną. Tuż przed wygaśnięciem zmienne te mogą stać się dramatycznie duże.

Gamma a czas

Jak widać na powyższym rysunku, wykres zwęża się, ale całkowita powierzchnia pod wykresem pozostaje niezmieniona. W rezultacie wykres osiąga znacznie wyższy szczyt. Wyższy wierzchołek symbolizuje wzrost gamma i theta wraz ze skróceniem czasu wydechu.

Ze względu na zachowanie wywołań ITM, ATM i OTM widzimy, że krzywa delta będzie rosła wokół strajku w miarę zbliżania się wygaśnięcia. Dlatego w miarę upływu czasu wartość gamma dla opcji ATM będzie rosła. Nie dotyczy to jednak opcji OTM i ITM.

Gamma jest ważnym parametrem ryzyka, ponieważ określa, ile pieniędzy możemy zyskać lub stracić na naszym neutralnym delta portfelu, gdy cena akcji się zmieni. W poniższym przykładzie oszacujemy zysk / stratę pozycji opcyjnej jako konsekwencję ruchu instrumentu bazowego. Przyjmiemy stałą wartość gamma 2,7, więc delta zmienia się o 2,7 na ruch instrumentu bazowego na dolara.

Załóżmy, że kupimy 80 call 1000 razy po cenie 5,52 z ceną akcji 79 dolarów. Aby zachować neutralność delta, powinniśmy sprzedać 51 100 akcji. Kurs akcji kształtuje się następująco:



t =	Cena akcji
0	79
1	84
2	76
3	79

W momencie t = 1 it = 2 ponownie dostosowuję zabezpieczenie, aby było neutralne delta. W momencie t = 3 zamykam swoją pozycję.

Trzy sposoby obliczenia zmiany wartości pozycji

Oto trzy sposoby obliczenia zmiany wartości naszej pozycji, pierwszy przy użyciu przepływów pieniężnych, drugi za pomocą delta, a trzeci za pomocą gamma.

1. Obliczanie zysku za pomocą przepływów pieniężnych

Najpierw przyjrzymy się przepływom pieniężnym, jak pokazano w poniższej tabeli. Druga kolumna pokazuje przepływy pieniężne związane z wezwaniem, a trzecia dotyczy mojej pozycji na giełdzie. Ostatnia linia sumuje wszystko:

Więc ostatecznie osiągamy zysk w wysokości 132,300. Jeśli mamy długie opcje i tym samym mamy długą pozycję gamma, musimy kupować akcje, jeśli cena akcji spadnie, i sprzedawać je, jeśli cena akcji wzrośnie (kup tanio, sprzedaj drogo), więc zawsze osiągamy zysk, jeśli kurs się porusza. Sprawdź sam, czy dotyczy to zarówno wywołań, jak i puts.

2. Obliczanie zysku za pomocą delta

Rozważymy teraz drugi sposób obliczenia zysków. Transakcje są takie same, różni się tylko obliczenie zysku. Przy tej metodzie rozważamy jednocześnie opcję i pozycję akcji. Mamy akcje jako zabezpieczenie opcji, więc rozważmy po prostu całkowitą pozycję delta. Zaczynamy od neutralności delta. Potem czas się rusza, zyskujemy delty. (Obliczamy delty, które uzyskujemy wykorzystując różnicę między dwoma podanymi deltami dla podanych początkowych i końcowych wartości akcji. Aby otrzymać średnią deltę podczas ruchu, dzielimy tę wartość przez dwa). Portfel zyskuje na wartości zgodnie z jego deltami, jak wyjaśniono poniżej.

W tym przypadku używamy metody średniej delta. Oznacza to, że my:

Oblicz średnią pozycję delta podczas ruchu giełdowego.
Pomnóż to przez interwał, aby obliczyć zysk.

W chwili t zabezpieczamy się, więc kupujemy / sprzedajemy akcje, więc delta znów jest neutralna.

Przyjrzyjmy się temu dokładniej:

W momencie t = 0, akcje handlują 79, rozpoczynamy neutralną pozycję delta, czyli mamy 51,100 akcji krótkich
W momencie t = 1, akcje handlują 84. Delta pozycji opcyjnej wynosi 64,6 * 1000 (z opcji) -51100 (z akcji). Między t = 0 a t = 1 moja pozycja delta wzrosła z 0 do 13,500. Moja średnia delta ruchu wyniosła wówczas (13,500 + 0) / 2 = 6750 (6,75 na połączenie). Aby obliczyć PnL mojej pozycji, mnożę te delty przez wielkość ruchu giełdowego: 6570 * 5 = 33750 dolarów. Aby zrealizować ten zysk, muszę ponownie sprzedać akcje, aby zachować neutralność delta.
W momencie t = 2, akcje handlują 76. Delta mojej pozycji w opcjach wynosi 43,0 * 1000, a delta mojej pozycji na giełdzie wynosi -64 600…

Przykład obliczenia zysku za pomocą Gamma.

3. Obliczanie zysku za pomocą gammy

W powyższym przykładzie obliczyliśmy średnią pozycję delta, biorąc średnią początkowej pozycji delta i końcowej pozycji delta. Można to również osiągnąć za pomocą gamma, ponieważ gamma określa zmianę delty na dolara.

Wyjaśnijmy, jak:

W chwili t = 0, transakcje giełdowe 79, neutralne delta, gamma wynosi 2700.
W momencie t = 1, akcje handlują 84. Akcje przesunęły się o 5, więc moja nowa pozycja delta to 5 * 2700. Na początku ruchu moja delta wynosiła 0, więc moja średnia delta to 5 * 2700/2. Akcje przesunęły się o 5, więc portfel zyskał 5 * średnia delta = 5 * 5 * 2700/2. Portfel jest zabezpieczony, więc delta ponownie wynosi 0. Nazywamy to „skalpowaniem gamma”. Długa pozycja gamma pozwala kupować tanio i sprzedawać drogo.
W chwili t = 2, akcje handlują 76. To ruch o 8 dolarów, moja nowa pozycja delta to 8 * 2700…

Jeśli zaczniemy od portfela neutralnego delta, można użyć następującej formuły ogólnej:

P / L = pricemove ^ 2 * gamma / 2