Jak obliczyć złożone zmiany procentowe

Soroban do szybkiego liczenia

David Wilson

Co to jest złożona zmiana procentowa?

Wszyscy jesteśmy świadomi zmian procentowych. Niezależnie od tego, czy chodzi o 25% zniżki na zakup nowego telewizora podczas wyprzedaży w Czarny piątek, czy o 5% wzrost cen pociągów (ponownie), procentowa zmiana kwoty jest codzienną umiejętnością. Ale co ze złożonymi zmianami procentowymi?

Wyobraź sobie, że wpłacasz 100 funtów do banku na koncie oszczędnościowym z oprocentowaniem stałym 4% wypłacanym rocznie. Pod koniec roku (zakładając, że nie dotknąłeś pierwotnego depozytu) Twoje pieniądze wzrosną o 4%, dając Ci dodatkowe 4 GBP i łącznie 104 GBP na koncie.

Jeśli zostawisz wszystkie te pieniądze na koncie na kolejny rok, co się wtedy stanie? Czy otrzymujesz w banku kolejne 4 funty i łącznie 108 funtów? Nie. W drugim roku otrzymujesz nie tylko 4% z pierwotnych 100 GBP, które nadal znajduje się w banku, ale także 4% z dodatkowych 4 GBP, które zarobiłeś z odsetek w poprzednim roku. 4% ze 104 £ to 4,16 £, co oznacza, że ​​pod koniec drugiego roku będziesz mieć na koncie 104 £ + 4,16 £ = 108,16 £. Zakładając, że w żadnym momencie nie dotkniesz pieniędzy, a 4% stopa procentowa pozostanie stała, będziesz zarabiać więcej pieniędzy każdego roku, gdy kwota na Twoim koncie będzie rosła. To jest procent składany.

Uwaga: jeśli co roku otrzymujesz 4 GBP, będzie to znane jako zwykłe odsetki.

Jak obliczyć wzrost procentowy złożony

Przyjrzyjmy się, jak obliczyć procentowy wzrost składany (nazywany również procentem składanym, gdy mamy do czynienia z przykładami takimi jak nasz).

Tak jak poprzednio, zaczynasz z 100 £ na koncie bankowym i stałą stopą procentową w wysokości 4%. Moglibyśmy znaleźć 4%, dzieląc 100 funtów przez 100, aby otrzymać 1%, a następnie mnożąc to przez 4. To świetnie przez rok, ale gdybyśmy chcieli obliczyć, ile będziemy mieć na koncie 5 lub 10 lat później zajmie to dużo czasu.

Zamiast tego użyjemy czegoś, co nazywa się metodą mnożnika. Jeśli nazwiemy nasz pierwotny depozyt 100%, to po wzroście o 4% otrzymamy 104%. Aby obliczyć 104% kwoty, najpierw przeliczamy procent na ułamek dziesiętny, dzieląc przez 100, co daje nam 104/100 = 1,04. Pomnożenie przez tę 1,04 zwiększy kwotę o 4% za jednym razem.

W naszym przykładzie mamy 100 funtów na początek, więc po roku mamy 100 funtów x 1,04 = 104 funty. Po kolejnym roku mamy 104 £ x 1,04 = 108,16 £, następnie 108,16 x 1,04 = 112,49 £ i tak dalej. Jednak możemy to jeszcze bardziej przyspieszyć.

Mnożymy przez ten sam mnożnik 1,04 raz na każdy mijający rok, więc jeśli chcemy znaleźć sumę kilka lat później, możemy pomnożyć przez 1,04 tyle razy, używając potęg.

Na przykład po 5 latach będziemy mieć 100 GBP x 1,04 x 1,04 x 1,04 x 1,04 x 1,04, czyli tyle samo, co 100 GBP x 1,04 ⁵ = 121,67 GBP.

Po 25 latach otrzymalibyśmy 100 £ x 1,04 ²⁵ = 266,58 £. Wyobraź sobie, ile czasu by to zajęło, gdybyśmy oddzielnie wypracowali 4% na każdy rok!

Inny przykład procentowego wzrostu złożonego

Wypróbujmy inny przykład procentowego wzrostu złożonego.

Każdego roku ludność miasta rośnie o 12%. Jeśli zacznie się od 30 000 osób i zakładając, że wzrost ten pozostanie stały, jaka będzie populacja za 6 lat? A co za 20 lat?

Zaczynamy więc od 100% i chcemy wzrostu o 12%, stąd otrzymamy 112%, czyli 1,12 jako ułamek dziesiętny.

Dlatego po 6 latach populacja wyniesie 30000 x 1,12 ⁶ = 59 215.

Po 20 latach będzie to 30000 x 1,12 ²⁰ = 289 389.

A co ze złożonymi spadkami procentowymi?

Złożony procentowy spadek (znany również jako rozpad związku) ma miejsce, gdy ilość zmniejsza się o ten sam procent wielokrotnie. Metoda znalezienia tego jest bardzo podobna do znalezienia wzrostu.

Załóżmy, że kupiłeś samochód za 20 000 funtów i każdego roku jego wartość spada o 15%. Chcemy się dowiedzieć, ile samochód będzie wart za pięć lat.

Moglibyśmy znaleźć 15% z 20 000 funtów, odjąć to, a następnie znaleźć 15% nowej kwoty i tak dalej, ale znowu to trochę potrwa. Zamiast tego spójrzmy na użycie mnożników, tak jak to zrobiliśmy powyżej.

Jeśli zaczniemy od 100%, 15% obniżka da nam 85%. Więc zamiast myśleć o tym jako o znalezieniu 15% spadku każdego roku, możemy zamiast tego myśleć o znalezieniu 85%. 85% jako ułamek dziesiętny to 85/100 = 0,85, więc aby znaleźć 85%, mnożymy przez 0,85. Aby to zrobić wiele razy, używamy mocy, jak to zrobiliśmy powyżej.

Wracając do naszego przykładu samochodu, po 5 latach wartość wyniesie 20 000 £ x 0,85 ⁵ = 8 874,11 £.

Po 10 latach wartość wyniesie 20 000 GBP x 0,85 ¹⁰ = 3937,49 GBP.

Więcej przykładów znajdziesz w poniższym filmie.

Połącz zainteresowanie na kanale DoingMaths w YouTube

© 2020 Dawid